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牟合方蓋(中國古代智慧的結晶)

導語:牟合方蓋聽名字是不是非常陌生,這是我國古代數學家劉徽發現的一種用于計算球體體積的方式,他希望可以用牟合方蓋來證實《九章算術》的公式有錯誤,雖然最終并沒有實現,但是這個發現有著重要的意義,下面和探秘志小編一起看看吧。

牟合方蓋

這是我國古代數學家劉徽首先發現并采用的一種用于計算球體體積的方法,類似于現在的微元法。由于其采用的模型像一個牟合的方形盒子,故稱為牟合方蓋。

基本理論

其實劉徽是希望構作一個立體圖形,它的每一個橫切面皆是正方形,而且會外接于球體在同一高度的橫切面的圓形,而這個圖形就是“牟合方蓋”,因為劉徽只知道一個圓及它的外接正方形的面積比為π:4,他希望可以用“牟合方蓋”來證實《九章算術》的公式有錯誤。當然他也希望由這方面入手求球體體積的正確公式,因為他知道“牟合方蓋”的體積跟內接球體體積的比為4:π,只要有方法找出“牟合方蓋”的體積便可,可惜,劉徽始終不能解決,他只可以指出解決方法是計算出“外棋”的體積,但由于“外棋”的形狀復雜,所以沒有成功,無奈地只好留待有能之士圖謀解決的方法:

“觀立方之內,合蓋之外,雖衰殺有漸,而多少不掩。判合總結,方圓相纏,濃纖詭互,不可等正。欲陋形措意,懼失正理。敢不闕疑,以俟能言者。”

但是在劉徽后二百多年賢能之士才出現,這就是中國偉大數學家袓沖之和他的兒子祖暅,他們繼承了劉徽的想法,還利用了“牟合方蓋”徹底地解決了球體體積公式的問題。

重要發現

主要是使用的三個“外棋”的計算方法。他們先考慮一個由八個邊長為r的正立方體組成的大正立方體,然后用制作“牟合方蓋”的方法把這大正立方體分割,再取其中一個小正立方體部分作分析,分割的結果將跟右圖所示的相同,白色部分稱為“小牟合方蓋”,它的體積為“牟合方蓋”的八分之一,而紫紅、黃和青色的部分便是三個“外棋”。

祖沖之父子考慮這個小立方體的橫切面。設由小立方體的底至橫切面高度為h,三個“外?”的橫切面面積的總和為S及小牟合方蓋的橫切面邊長為a,因此根據“勾股定理”有:

a²=r²-h²

另外,因為

S=r²-a²

所以

S=r²-(r²-h²)=h²

于所有的h來說,這個結果也是不變的。祖氏父子便由此出發,他們取一個底方每邊之長和高都等于r的方錐,倒過來立著,與三個“外棋”的體積的和進行比較。設由方錐頂點至方錐截面的高度為h,不難發現對于任何的h,方錐截面面積也必為h²。換句話說,雖然方錐跟三個“外棋”的形狀不同,但因它們的體積都可以用截面面積和高度來計算,而在等高處的截面面積總是相等的,所以它們的體積也就不能不是相等的了,所以祖氏云:

“緣冪勢既同,則積不容異。”

所以

外棋體積之和=方錐體積=小立方體體積/3=r³/3

小牟合方蓋體積= 2r³/3

牟合方蓋體積=16r³/3

因此

球體體積=(π/4)(16r³/3)=4πr³/3

這條公式也就是正式的球體體積公式。

結語:牟合方蓋是中國古代人民智慧的結晶,學習這些才能更好的了解數學知識,并且達到觸類旁通的效果。

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